КОНСПЕКТЫ УРОКОВ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

РУССКИЙ ЯЗЫК

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ЛИТЕРАТУРА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ФРАНЦУЗСКИЙ ЯЗЫК

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ИСТОРИЯ РОССИИ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

БИОЛОГИЯ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ГЕОГРАФИЯ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ИНФОРМАТИКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

 

1. В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет).  Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причем в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.

(П.Кожевников)


2. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

(В.Произволов)

 

3. В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A_1A_2A_3. Докажите, что на дугах A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1 можно отметить по одной точке (B_1,B_2,B_3 соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A_1B_1A_2B_2A_3B_3 численно равнялась периметру треугольника A_1A_2A_3.

(Г.Гальперин)


4. Даны три различных натуральных числа, одно из которых равно полусумме двух других. Может ли произведение этих трех чисел являться точной 2008-й степенью натуральногочисла?

(Г.Гальперин)  

 

5. Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки,  спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.

(А.Шаповалов)


6. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алеша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Сережа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос - и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Сережа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алешей  равно количеству различных чисел среди записанных Сережей.

(А.Буфетов)

 

7. Решите систему уравнений (n>2) корень из x_1 + корень из (x_2 + ... + x_n) = корень из x_2 + корень из (x_3 + ... + x_n + x_1) = корень из x_3 + корень из (x_4 + ... + x_1 + x_2) =  ................................................... корень из x_n + корень из (x_1 + ... + x_(n-1))x_1 - x_2 = 1.

(Б.Френкин)

 

8. В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A_1A_2... A_{30}. Докажите, что на дугах A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{30}A_1 можно отметить по одной точке (B_1, B_2, ... , B_{30} соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника A_1B_1A_2B_2 ... A_{30}B_{30} численно равнялась периметру   тридцатиугольника  A_1A_2 ...  A_{30}.

(Г.Гальперин)

 

9. Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

(Г.Гальперин)

 

10. На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоугольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечетного числа клеток, и ни-

какие два прямоугольника не содержат общих клеток. Докажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в 4 цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы.

(А.Грибалко)

 

11. В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины. Докажите, что прямая пересекает четное число диагоналей.

(Г.Гальперин)

 

12. Пусть a^b обозначает число a в степени b. В выражении  7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

(А.Толпыго)

 

13. Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании  не превращаются друг в друга.)

(В.Замятин)

 

14. Натуральное число увеличили на 10% и снова получили натуральное число. Могла ли при этом сумма цифр уменьшиться ровно на 10%?

(А.Шаповалов)

 

15. В ромбе ABCD угол А равен 120 градусов. На сторонах BC  и CD взяты точки M и N так, что угол NAM равен 30 градусам. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника NAM, лежит на диагонали ромба.

(Р.Женодаров)

 

16. Пусть a^b обозначает число a в степени b. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли  расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

(А.Толпыго)

 

17. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает четное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит четное число отрезков.

(И.Богданов, Г.Гальперин)

 

18. Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечетный делитель. Даны произвольные натуральные числа х_1=а и х_2=b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:

x_n = О(х_{n-1} + х_{n-2}), где n = 3, 4, ... .

а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.

б) Как найти это число, зная числа a и b?

(Г.Гальперин)

 

19. В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M  таких, что между единицей и нулем этой пары стоит четное число цифр (возможно, ни одной), и ровно N - таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечетное число цифр. Докажите, что M больше или равно N.

(В.Ясинский)

 

20. Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения

медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

(С.Маркелов)

 

21. Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: 1/2009 и 1/2008. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1.

Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

(Д.Баранов)

 

22.

а) Докажите, что найдется многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую - в отношении 1:2.

б) Найдется ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

(С.Маркелов)

 

23. В каждой клетке квадрата 101*101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Шахматная фигура "машина" может въехать извне в любую клетку на границе квадрата (под прямым углом к границе). Если машина попадает в клетку со знаком "прямо", то она продолжает ехать в том же направлении, что и ехала. Если попадает в клетку со знаком "поворот", то поворачивает на 90 градусов в любую сторону по своему выбору. Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли так расставить знаки, чтобы машина не могла попасть в дом?

(А.Чеботарев)

 

24. Дана бесконечная последовательность различных натуральных чисел. Известно, что каждый член этой последовательности (кроме первого) - либо среднее арифметическое, либо среднее геометрическое двух соседних с ним членов. Обязательно ли все члены этой последовательности, начиная с некоторого, - только средние арифметические либо только средние геометрические своих соседей?

(А.Перепечко)

 

25. Замок обнесен круговой стеной с 9 башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причем каждый рыцарь движется   либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на 5 башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

(М.Мурашкин)

 

26. Угол C при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120 градусов. Из вершины C выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60 градусов друг к другу, которые, отразившись от основания AB (по закону "угол падения равен углу отражения"), попали на боковые стороны. В результате исходный треугольник разделился на 5 меньших треугольников. Рассмотрим те три из них, которые примыкают к стороне AB. Докажите, что площадь среднего треугольника равна сумме площадей крайних.

(В.Произволов)

 

27. Пусть C_n^k обозначает количество способов выбрать k предметов из n различных предметов (способы, отличающиеся только порядком выбора предметов, считаются одинаковыми). Докажите, что если натуральные числа k и l меньше n, то числа C_n^k и C_n^l имеют общий множитель, больший 1.

(Фольклор)

 

28. Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пе-

ресекает еще какой-нибудь прямоугольник?

                                                   (М.Мурашкин)

 

29. Дана бесконечная последовательность различных натуральных чисел. Известно, что каждый член этой последовательности (кроме первого) - либо среднее арифметическое, либо среднее геометрическое двух соседних с ним членов. Обязательно ли все члены этой последовательности, начиная с некоторого, - только средние арифметические либо только средние геометрические своих соседей?

(А.Перепечко)

 

30. На каждой клетке доски 10*10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит четное число фишек, и снять с нее любую фишку. Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

(М.Мурашкин)

 

31. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани которых - четырехугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

(В.Произволов)

 

32. Пусть C_n^k обозначает количество способов выбрать k предметов из n различных предметов (способы, отличающиеся только порядком выбора предметов, считаются одина-

ковыми). Докажите, что если натуральные числа k и l меньше n, то числа C_n^k и C_n^l имеют общий множитель, больший 1.

(Фольклор)

 

33. Дано целое число n>1. Двое по очереди отмечают точки на окружности: первый - красным цветом, второй - синим. Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. Затем каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. У кого длина дуги больше - тот выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков - ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

(А.Шаповалов)

 

34. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель  этого числа и n. Докажите, что на любом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.


(М.Франк)

35. Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных? (Каждая фишка занимает отдельную клетку.)

(А.В.Шаповалов)

 

 36. На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке число x^2?

(Г.А.Гальперин)

 

37. Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник. Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?

(А.А.Заславский)


30. В таблицу 29*29 вписали числа 1, 2, 3, ... , 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.

(А.В.Шаповалов)

 

39. Фокусник с завязанными глазами выдает зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдает ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

(А.К.Толпыго)

 

40. Есть сто картинок, на каждой изображены взрослый и ребенок ростом поменьше (все двести человек на картинках разные). Из них надо собрать одну большую картину. Разрешается перед этим изменить масштаб каждой картинки, уменьшив её размеры в целое число раз (масштабы разных картинок можно менять независимо друг от друга). Докажите, что можно добиться, чтобы на большой картине все взрослые были выше всех детей.

(А.В.Шаповалов)

 

41. На бумажке записаны три положительных числа: x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

а) число x^2?

б) число xy?

(Г.А.Гальперин)

 

42. Дана прямая и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от нее. Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку С, что произведение АС*ВС будет наименьшим?

(А.К.Толпыго)

 

43. Фокусник с завязанными глазами выдает зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдает ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

(А.К.Толпыго, А.В.Шаповалов)

 

44. Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит

а) 1 см;

б) 1,01 см;

в) 1,001 см?

(Диаметром многоугольника называется максимальное расстояние между его вершинами).

(А.К.Толпыго)

 

45. На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что AD=BK. Пусть F - точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.

(Р.Г.Женодаров)

 

46. а) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух из своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно, в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.

б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумают по четыре натуральных числа?

(Б.Р.Френкин, И.И.Богданов)

 

47. Миша стоит в центре круглой лужайки радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?

(А.И.Буфетов)

 

48. Дана клетчатая полоса 1*N. Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй - нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать (как бы ни играл его соперник)?

(Б.Р.Френкин)

 

49. Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины отрезка равна сумме моментов гирь слева (иначе отклонятся в сторону, где сумма больше). Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s от неё до середины.)

(И.Нетай, В.Шевяков)

 

50. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие - орлом вверх, а какие - решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.

а) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для N=a, то есть способ и для N=2a.

б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть способ.

(С.Грибок)

 

51. Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "А". Дальше каждую букву в нём заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "Ряд кораблей на дремлющих морях". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте ещё хотя бы раз.

(А.И.Буфетов)

 

52. а) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух из своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно, в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.

б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумают по четыре натуральных числа?

(Б.Р.Френкин, И.И.Богданов)

 

53. Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N - середины сторон четырехугольника. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

(А.А.Заславский)

 

54. Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, и каждый член имеет вид 1/k, где k - натуральное.

(А.К.Толпыго)

 

55. Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины отрезка равна сумме моментов гирь слева (иначе отклонятся в сторону, где сумма больше). Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s от неё до середины.)

(И.Нетай, В.Шевяков)

 

56. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие - орлом вверх, а какие - решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.

а) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для N=a и для N=b, то есть способ и для N=ab.

б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть способ.

(С.Грибок)

 

57. На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для любой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l - длину стороны, и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P,Q). Докажите, что (P,Q) = (Q,P).

(Д.Звонкин)

 

58. Перед Алешей 100 закрытых коробочек, в каждой - либо красный, либо синий кубик. У Алеши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алешин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алеша, если ему известно, что

а) синих кубиков ровно 1;

б) синих кубиков ровно n.

(Замечание. Алеша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

(А.И.Буфетов)

 

59. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны попарно параллельны (AB с DE, BC с EF и CD с FA), а также AB=DE. Докажите, что BC=EF и CD=FA.

 

60. На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении 3:4. Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

 

61. Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках - a, на десяти других - b, и на десяти оставшихся - c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что среди чисел a, b, c одно равно нулю.

 

62. Найдите все натуральные n, при которых (n+1)! делится на сумму 1! + 2! +...+ n! . (k! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до k включительно).

 

63. Клетки доски 10*10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Любые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.

а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток - белой и синей.

б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников (и объясните, почему он подходит).

в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников (и объясните, почему он подходит).

 

64. Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках - a, на десяти других - b, и на десяти оставшихся - c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что среди чисел a, b, c одно равно нулю.

 

65. Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, 3, ... , n быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее  кратное целых чисел 1, 2, 3, ... , m?

 

66. В треугольнике ABC угол A прямой, M - середина BC, H - основание высоты из вершины A. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

 

67. Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдется точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдется точка, принадлежащая всем трем копиям.

 

 

68. Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке  C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и  A лежат на одной прямой.


 

69. Число N является произведением двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что

а) можно приписать к этому числу справа две цифры так, чтобы получился точный квадрат;

б) если N > 12, это можно сделать единственным способом.

 

70. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точки К и М соответственно так, что КМ параллельна АС. Отрезки АМ и КС пересекаются в точке О. Известно, что АК=АО и КМ=МС. Докажите, что АМ=КВ.

    

71. Даны две окружности и три прямые, каждая прямая высекает на окружностях хорды равной длины. Точки пересечения прямых образуют треугольник. Докажите, что описанная окружность этого треугольника проходит через середину отрезка между центрами данных окружностей.

 

72. Дана клетчатая полоска (шириной в одну клетку), бесконечная в обе стороны. Две клетки полоски являются ловушками, между ними - N клеток, на одной из которых сидит кузнечик. На каждом ходу мы называем натуральное число, после чего кузнечик прыгает на это число клеток влево или вправо (по своему выбору). При каких N можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек, где бы он ни был изначально между ловушками и как бы ни выбирал направления прыжков? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

 

73. Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

 

74. По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика

попадают к одному ребенку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

 

75. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a/b + c/d = 1, a/d + c/b = 2008?

 

76. В выпуклом четырехугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырехугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16 градусов, 19 градусов, 55 градусов и 55 градусов. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

 

77. Бумажный треугольник, один из углов которого равен a, разрезали на несколько треугольников. Могло ли случиться, что все углы всех полученных треугольников меньше a

а) в случае, если a = 70 градусов;

б) в случае, если a = 80 градусов?

 

78. На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 - ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек?

(Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

 

79. Многочлен степени n>1 имеет n разных корней х_1, х_2, ... , х_n. Его производная имеет корни y_1, y_2, ... , y_{n-1}. Докажите неравенство (x_1^2+...+x_n^2)/n > (y_1^2+...+y_{n-1}^2)/(n-1) (x один в квадрате плюс ... + x n-е в квадрате, все деленное на n, больше y один в квадрате плюс ... + y n-1-е в квадрате, все деленное на n-1).

 

80. Петя и Вася нарисовали по выпуклому четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа alpha, alpha, beta и gamma (в некотором порядке), и Вася - тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырехугольника Васи.

 

81. Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел,   выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

 

82. Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек - белую или черную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

      

83. На плоскости даны парабола y=x^2 и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?

 

84. Перед экстрасенсом кладут колоду из 36 карт рубашкой вверх. Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают, показывают ему и откладывают в сторону. После этого экстрасенс называют масть следующей карты, и т.д. Задача экстрасенса - угадать масть как можно большее число раз. На деле рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Колода подготовлена

подкупленным служащим. Служащий знает порядок карт в колоде, и хотя изменить его не может, зато может подсказать, располагая рубашки карт так или иначе согласно договоренности. Может ли экстрасенс с помощью такой подсказки гарантированно обеспечить угадывание масти

a) более чем у половины карт?

б) не менее чем у 20 карт?

      

85. Курс акций компании "Рога и копыта" повышается или понижается каждый раз на n процентов, где n - фиксированное целое число, 0 < n < 100 (курс вычисляется с неограниченной точностью). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

 

86. Имеется биллиардный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A - в точности 1 градус. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шарик проваливается. Из вершины A вылетает точечный шарик и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернется в вершину A.

 

87. Проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь. Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней пирамиды, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

 

88. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть 1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его соперник, - может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?


89. Имеется биллиардный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого любые две соседние стороны перпендикулярны друг другу. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шарик проваливается. Из вершины A с внутренним углом 90 градусов вылетает точечный шарик и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернется в вершину A.

 

90. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть 1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-нибудь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту разность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его соперник, - может гарантировать себе победу, и как ему следует играть?

        

91. Каждая грань параллелепипедной коробки с ребрами 3, 4, 5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем коробку, равнялась 120?

 

92. В семиугольнике A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 диагонали А_1 А_3, А_2 А_4, А_3 А_5, A_4 A_6, A_5 A_7, A_6 A_1 и A_7 A_2 равны между собой. Диагонали А_1 А_4, А_2 А_5, А_3 А_6, A_4 A_7, A_5 A_1, A_6 A_2 и A_7 A_3 тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний?

 

93. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2.

 

94. N точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные - синим. Красные отрезки образовали  замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и синие

отрезки - тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться.

 

95. На полоске 1*N на 25 левых полях стоят 25 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку (если эта клетка свободна), движение влево не разрешается. При каком наименьшем N все шашки можно переставить подряд без пробелов в обратном порядке?

 

96. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2.

 

97. Какое наименьшее количество квадратиков 1*1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25*25, разделенного на 625 квадратиков 1*1?

 

98. У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причем денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

 

99. На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены прямоугольные треугольники (во внешнюю сторону). Пусть A, B, C, D - вершины прямых углов, а O_1, O_2, O_3, O_4 - центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что

а) площадь четырехугольника ABCD не превосходит 2;

б) площадь четырехугольника O_1 O_2 O_3 O_4 не превосходит 1.

 

100. Бумажный тетраэдр разрезали по ребрам так, что получилась плоская развертка. Могло ли случиться, что эту развертку нельзя расположить на плоскости без наложений (в один слой)?

        

101. Сто целых положительных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, чтобы любые два из этих чисел были взаимно простыми?

 

102. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот диалог услышал любитель математики, который сказал:

"В таком случае можно сделать и то, и другое!".

Прав ли он?

 

103. Найдите все целые положительные числа k, для которых найдутся такие целые положительные числа m и n, что m(m+k)=n(n+1).

 

104. Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15*15 так, чтобы слон, поставленный на любую клетку доски, бил не менее двух отмеченных клеток?

(Слон бьет по двум диагоналям, на пересечении которых он стоит; слон, поставленный на отмеченную клетку, бьет эту клетку.)

 

105. Дан квадрат ABCD, внутри которого лежит точка O. Докажите, что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA отличается от 180 градусов не больше, чем на 45 градусов.

 

106. Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности параллелепипеда.)

 

107. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4, ... , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход соcтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на нее, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (и одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?


108. В треугольнике ABC биссектрисса угла A, серединный перпендикуляр к стороне AB и высота, опущенная из вершины B, пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисса угла A, серединный перпендикуляр к стороне AC и высота, опущенная из вершины C, также пересекаются в одной точке.

 

109. Найти все натуральные n, для которых найдутся n идущих подряд натуральных чисел, сумма которых - простое число.

 

110. а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном - 3 л сиропа, в другом - 20 л воды, третий - пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30-процентного сиропа?

б) То же, но воды - N л. При каких целых N можно получить 10 л разбавленного 30-процентного сиропа?

 

111. К натуральному числу a>1 приписали это же число и получили число b, делящееся на a^2. Найдите b/(a^2) (укажите все ответы и докажите, что других нет).

(организаторам: a^2 означает а в квадрате)

 

112. Два десятизначных числа назовем соседними, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются соседними. Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать, чтобы среди них не нашлись два соседних числа?

 

113. Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и касаются некоторой окружности с центром O. Докажите, что точка касания этой окружности со звеном BC, точка O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой.

 

114. К натуральному числу a>1 приписали это же число и получили число b, делящееся на a^2. Найдите b/(a^2) (укажите все ответы и докажите, что других нет).

 

115. Периметр выпуклого четырехугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна 1? Равна 2? Равна 1001?

 

116. Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a_1, a_2, a_3, a_4, ... есть числа (a_1)^2, (a_2)^2 и (a_3)^2. Докажите, что эта прогрессия состоит из целых чисел. (организаторам: (a_1)^2 означает а первое в квадрате)

 

117. Два десятизначных числа назовем соседними, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются соседними. Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать, чтобы среди них не нашлись два соседних числа?

 

118. Конечная арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, и ее сумма - степень двойки. Докажите, что количество членов прогрессии - тоже степень двойки.

 

119. Какое максимальное число шашек можно расставить на доске 8*8 так, чтобы каждая была под боем? (Если клетки шахматной доски x, y, z стоят одна за другой подряд в диагональном направлении, шашка a стоит на клетке x, шашка b - на клетке y, и клетка z свободна, то шашка b под боем.)

 

120. Курс акций компании "Рога и копыта" повышается или понижается каждый раз на n процентов, где n - фиксированное целое число, 0 < n < 100 (курс вычисляется с неограниченной точностью). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

Поиск

МАТЕМАТИКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ФИЗИКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ХИМИЯ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

МХК

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

МУЗЫКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

РОБОТОТЕХНИКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ВСЕРОССИЙСКИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ЭРУДИТ-КОМПАНИЯ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net

ТРЕНАЖЕР ДЛЯ МОЗГА

ДОСУГ ШКОЛЬНИКА

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru